00:00 開頭
01:14 黃金比例的起源
02:43 費波那契數列與黃金比例
03:56 自然界中的黃金比例
05:23 古文明中的黃金比例
06:43 藝術作品中的黃金比例
07:39 黃金比例的現代應用
09:10 我們的觀點
10:08 問題
10:27 結尾
（註）本文末含有資訊勘誤／補充
---【 影片口白逐字稿 】---
黃金比例在人類歷史上，長久以來一直是個很神秘的數字。在數千年以前，人類注意到這個比例，把它應用在超～級多地方，那在自然界中，也有數不清的黃金比例特徵。你有想過，為什麼會有這麼多黃金比例嗎？今天，就讓我們跟大家來聊聊這個神秘的「黃金比例」！
hiho～大家好，我是志祺！
你知道嗎？「黃金比例」其實跟數學課常用的「圓周率 π (pi)」一樣，都是在數千年前就被發現的，他們也有很多的共通點。例如：它們都是一個無理數，也就在是小數點後面都有無限個數字。(補充無理數定義：小數點後無限位數，而且都不循環)而且它們都還有專屬希臘字母來代表它，例如 pi 就用來表示圓周率，而黃金比例呢，則是會用「φ (phi)」來表示，通常簡寫成 1.618。
我們常聽到說，在古文明的建築、文藝復興時期的作品、或是在大自然界的很多地方裡，都可以找到黃金比例的蹤跡，不過後來的數學課本，卻比較少提到它。
欸！所以這個數字，當初為什麼會被叫做「黃金」？它到底有多神奇、多常見？那在比較現代的生活中，也有黃金比例的應用嗎？讓我們一個一個看下去吧！
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【黃金比例的起源】
黃金比例最經典的性質，就是我們可以在任何一個線段上，找到一個點做分割，讓「長線段與短線段的長度比值」，剛好等於「全長與長線段的長度比值」。而這個比值的數字，就正好是黃金比例「1.618」，那個點被就叫做「黃金分割點」。這也使得黃金比例還有一個名稱，叫做「中末比」。那我們也可以從剛剛比值的數學式，看出黃金比例這個數字的神奇特性： 0.618 倒數之後，就剛好是 1.618。至於關於黃金比例最早的資料，可以追溯到「古希臘」時期。傳說中，有一天哲學家「畢達哥拉斯」走在路上的時候，聽到了叮叮噹噹的打鐵聲。他覺得這個響亮的聲音非常悅耳，於是就開始研究，到底怎麼樣才能打出悅耳、舒適的聲音。後來他發現，如果鐵錘敲打在鐵砧上的位置，跟整個鐵砧的尺寸，剛好是處於一個 1.618 左右的比例的話，那敲打出來的聲音，會聽起來最和諧、最優美。
雖然這個傳說有可能是後人以訛傳訛的啦，我們現在也沒辦法真的去考證，但不可否認的是，古希臘時期「畢達哥拉斯學派」的哲學家們，就已經發現了不少黃金比例的特性。像是在畢達哥拉斯學派的象徵符號，也就是「五芒星」上面，它每一條線交叉的點，都是黃金分割點，上面的線段，都可以看到黃金比例的存在。
那除了畢達哥拉斯之外，還有一個人也跟黃金比例非常有關係，他就是13世紀的義大利數學家「李奧納多．費波那契」。
【費波那契數列與黃金比例】
在 13 世紀的時候，費波那契提出了一個「兔子繁殖」的問題。這個問題是說，假設我們有一對剛出生的公兔和母兔，他們在兩個月大的時候就能交配，那在第三個月底的時候，又可以再生下一對「一公一母」的小兔。那如果我們假設新生的兔子都是一公一母，而且這些兔子永遠不會死掉，那麼可以配成對的兔子的數量，就會持續增加。而兔子成對的數量，就叫做「費波那契數列」或是「費氏數列」。這是一個在數學上滿有名的數列，而在這個數列裡面，也可以發現黃金比例的存在。
十七世紀的時候，知名數學家「克卜勒」發現，如果把費氏數列每一項都跟前一項相除，你會發現他們的比值會越來越接近「黃金比例」的1.618！後來的數學家還發現，如果把「邊長等於費式數列」的正方形排列起來，可以畫出一條「費氏螺線」。更而特別的是，這條費氏螺線，竟然會跟用長寬比是 1.618:1 的「黃金矩形」，按照黃金比例切割出來的「黃金螺線」幾乎完全一樣。
而神奇的是，黃金比例以及它所衍伸出來的螺線，不只在數學上很特別，在真實的自然界中，也有很多動植物的特徵都跟它有關！
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【自然界中的黃金比例】
在自然界中，有很多植物的外觀特徵，都可以看到黃金比例和螺線的蹤跡。比方說，有一些植物的葉子，長在莖上的位置有一個規律在。如果你從上面往下看的話，會發現葉子生長的順序，是以「黃金螺旋」的形式來生長。還有像是在很久很久以前，就有人發現向日葵中心的小花，排列的方式就跟費氏數列有關，很明顯看得出來有好幾條很整齊的螺線。其他很類似的還有像是：松果跟多葉蘆薈，這些也都可以看到螺線的特徵。"
此外，動物世界裡「黃金比例」的例子也很多。比如說有些貝殼螺旋的間距，剛好就是黃金比例。而如果你去看看更複雜的哺乳類動物，你也會發現，黃金比例的特徵也是超多。例如：貓咪的臉、無尾熊的臉，還有猴子跟黑猩猩的臉，上面都可以看到很多黃金比例的存在。
當然，就連我們人類的臉呢，也可以找到黃金比例的特徵！有一群研究人員就發現，如果他們把不同年齡、不同地區人臉照片疊圖在一起，合成出一張「平均臉孔」，很容易就可以在上面發現超多的黃金比例，包括：眼睛、眉毛、嘴巴、鼻子的比例和位置，都可以看到黃金比例。
或許正是因為黃金比例看起來無所不在，所以從很早以前，它就被認為是和諧和美麗的象徵，應用到很多古文明的建築和雕刻中。
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【古文明中的黃金比例】
有許多古文明遺留下來驚人建築，都可以發現黃金比例的特徵。例如著名的埃及吉薩金字塔群，就有很多黃金比例的特徵。像是：最大的古夫金字塔，跟法老古夫兒子的「卡夫拉」金字塔，以及孫子「孟卡拉」的金字塔，他們三個的相對位置就都在「黃金矩形」的頂點上面。而在吉薩金字塔群旁邊的「人面獅身像」，也可以發現從頭到腳的長度，跟手肘到腳長度，也是 1.618:1 的黃金比例。而在古希臘這邊，也有滿多應用黃金比例的例子。例如供奉雅典娜女神的「帕德嫩神廟」，就被視為「運用黃金比例的經典建築」。雖然這座神廟遺跡的屋頂缺損很多，但還是可以算出屋頂頂點的高度，那把它還原之後，就可以看出他的寬和高符合黃金舉行的比例，而且也可以發現，柱子上方屋簷部分的裝飾，彼此之間也是符合黃金比例的排列。
此外，古希臘時期完成的「米羅的維納斯」雕像，如果我們從雕像肚臍的位置來做分隔的話，我們也可以看到上下半身長度比，剛好就是 1:1.618。
不過，象徵和諧、美麗的黃金比例，並不只是古文明的建築師或雕刻家愛用而已！在一千多年後的文藝復興時期，有很多藝術家的作品裡，也都可以發現黃金比例的存在。
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【藝術作品中的黃金比例】
最常被討論的藝術家，大概就是「達文西」了。他的畫作「蒙娜麗莎」可以在構圖裡面，發現非常多的黃金比例。而像是「最後的晚餐」，這幅畫也是在構圖上，像是物品和人物的位置，很多都位在黃金比例點上；其他還有「維特魯威人」還有「抱著銀貂的女子」，裡面人物的身形比例，也都可以看到 1.618:1 黃金比例的存在。另一個常常被討論的，也是義大利的藝術家「米開朗基羅」。他最有名的作品，就是那個上帝和亞當伸出手指相接觸的那張畫，他們手指接觸的點，就剛好是黃金比例線的交會點。米開朗基羅還有另外一個作品常常被拿來討論，就是有名的「大衛像」。這座雕像跟米羅的維納斯還有維特魯威人一樣，如果用肚臍來分上下半身，也會剛好符合黃金比例。
好的，介紹完了古文明和文藝復興時期的作品，接下來當然要來看看現代的作品。
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【黃金比例的現代應用】
講到黃金比例的現代應用，就一定要提到我們今天這集的乾爹——「MSI 微星科技」。他們最近剛發表最新款的Creator Z16筆電，這款筆電從黃金比例的美學概念出發，經過精密的計算與排列之後，創造出這台結合「現代科技」與「美學」的最新筆電「Creator Z16」！Creator Z16 擁有完美的「一體成型」金屬外殼，超薄機身只有 15.9 毫米，搭配最接近黃金比例的 16:10 寬螢幕，讓你無論是要同時閱讀和對照多份文件，還是做設計和剪輯，都能有更大的工作區域。而且，Z16 是全球第一台使用 MiniLED 背光鍵盤的筆電，讓你在燈光比較暗的咖啡廳，可以一邊享受氣氛，同時清楚看到鍵盤文字！
此外，Creator Z16 還搭載了第 11 代最高八核心的 i9 處理器，以及「Nvidia 3060 系列的獨立顯示卡」，以Render 3D 動畫來說，更是比上一代六核心系統 Creator 15 還要快了40%。再加上搭載的是Windows作業系統，所以使用 Creator Z16做專業編輯時，不需要擔心相容性問題。而 Creator Z16 的螢幕，還能打開到接近 180 度，讓你跟工作室的夥伴討論作品，或是跟合作廠商 Brief 想法，都非常方便！
總結來說，這台 Creator Z16 是 MSI 跨足商務界、創作者界的最新力作。兼具效能和美感的設計，讓你可以帶著出門做工作，或是在家進行遊戲影音等娛樂，都只要一機就搞定！
【我們的觀點】
我們在研究這集黃金比例的過程中，一直都有一個好奇，就是我們在古文明建築，還有藝術作品裡面看到很多黃金比例，這些會不會都只是巧合而已？會不會其實原本設計和創作的人，根本沒有想那麼多，只是我們「事後」用分析，硬要套上去，才得到這樣的結果？我想我們大概很難知道答案了，因為這個真的沒有辦法驗證到底實際情況是怎樣，而這個大概也是黃金比例，現在比較少在數學課上被提到的原因之一吧。可是呢，我覺得就算這些分析都只是我們的臆測，也未必是當事人有意設計的巧思，這其實也都沒什麼關係，因為在研究這些的過程，我們得到了很多樂趣。
這種感覺，跟我們小時候在玩迪士尼頻道「米奇在哪裡」的遊戲一樣，就是不知道創作者有沒有藏了什麼巧思，所以反而會讓人感覺很好奇，哪裡可以找到那些有趣的東西。然後當我們找到它的時候，就會感覺超開心、超有成就感！我覺得研究黃金比例最大的樂趣，或許就是在這邊吧！
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所以，那今天想要來問問大家，你覺得黃金比例出現在很多地方到底是不是巧合呢？
A. 我覺得連自然界都出現超多黃金比例，古時候的人一定會發現它的存在，所以應用到建築和藝術上面，應該是很合理的！
B. 我覺得過去的建築和藝術作品是不是巧合很難說，但那些作品的美倒是不用懷疑；
C. 其他，留言告訴我們吧！
最後，如果你喜歡今天的影片，歡迎分享出去，讓更多人知道「黃金比例的秘密」！
此外也可以點這邊，看看「七七突發奇想」系列的影片；
那麼，今天的志祺七七就到這邊告一段落，我們明晚再見囉～掰比！
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【補充資訊】
這邊補充說明一下，影片中敘述不精確的地方。0:40 講到無理數的地方，應該是「小數點後無限位數，而且都不循環」才對。
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【 本集參考資料 】
→《黃金比例的秘密——存在於藝術、設計與自然中的神聖數字》 Gary B. Meisner 著，李嬋 譯，遠流出版。
→科學月刊的黃金比例文章：https://bit.ly/2UY5em2
→黃金螺線用希臘字母表示黃金比值：https://bit.ly/3ipmLM5
→兔子生兔子，費波那契生出費氏數列——位數根的快樂夥伴（一）：https://bit.ly/3hQe7qP
→高階線性遞迴數列的一般化費氏螺線：https://bit.ly/2UjUIFX
→維基百科：米洛的维纳斯：https://bit.ly/36M4YsX
→維基百科：Alexandros of Antioch：https://bit.ly/3Bj2UXr
→神奇的對數螺線 (作者：楊建成 老師 / 逢甲大學應用數學系)：https://bit.ly/3kzY9ms